10729. Дан правильный семиугольник ABCDEFG
. Докажите, что
\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}.
Решение. Опишем окружность около данного правильного семиугольника. Его вершины разбивают эту окружность на семь равных дуг. Пусть каждая из этих дуг равна 2\alpha
. Тогда \angle ADE=\frac{6\alpha}{2}=3\alpha
и \angle AED=\frac{6\alpha}{2}=3\alpha
, значит, треугольник ADE
равнобедренный, AE=AD
. Кроме того, CE=AC
и DE=AB=CD
.
Применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику ACDE
(см. задачу 130), получим, что
DE\cdot AC+CD\cdot AE=CE\cdot AD,~\mbox{или}~AB\cdot AC+AB\cdot AD=AC\cdot AD,
откуда
AB(AC+AD)=AC\cdot AD,~AB=\frac{AC\cdot AD}{AC+AD},~
\frac{1}{AB}=\frac{AC+AD}{AC\cdot AD}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AC}.