10730. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) провели биссектрису AM
. На луче CA
отложили отрезок CN=BM
. Докажите, что точки A
, B
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим AB=BC=a
, AC=b
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b},
поэтому
CM=BC\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{ab}{a+b},~CN=BM=BC\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{a^{2}}{a+b}.
Значит,
\frac{CN}{CM}=\frac{\frac{a^{2}}{a+b}}{\frac{ab}{a+b}}=\frac{a}{b}=\frac{AB}{AC},
а так как \angle MCN=\angle CAB
, то треугольники CNM
и ABC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle CMN=\angle BAC,~\angle BMN+\angle BAN=180^{\circ}-\angle CMN+\angle BAN=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника ABMN
можно описать окружность, т. е. точки A
, B
, M
и N
лежат на одной окружности.