10731. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку M
и через неё провели хорды AB
и CD
этих окружностей. Докажите, что \angle DAB=\angle BCD
.
Решение. Пусть PQ
— общая хорда данных окружностей. По теореме об произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AM\cdot MB=PM\cdot MQ=CM\cdot MD.
Следовательно (см. задачу 114), точки A
, C
, B
и D
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы DAB
и BCD
опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 18.18, с. 137