10734. Через вершину B
треугольника ABC
проведена прямая l
, перпендикулярная AB
. Прямая, проходящая через вершину A
перпендикулярно BC
, пересекает прямую l
в точке D
. Серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекает прямую l
в точке P
. Точка E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на прямую AC
. Докажите, что треугольник BPE
равнобедренный.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек B
и E
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Вписанные в эту окружность углы DAE
и DBE
опираются на одну дугу, поэтому они равны.
Пусть K
— точка пересечения прямой AC
с серединным перпендикуляром к стороне BC
. Тогда KP\parallel AD
, значит,
\angle PKE=\angle DAE=\angle DBE.
Из точек K
и E
, лежащих по одну сторону от прямой PE
, отрезок PE
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, K
, E
и P
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BKP
и PBE
равны, так как точка K
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Следовательно, равны и соответствующие им хорды BP
и PE
.
Аналогично для остальных случаев.
Второй способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек B
и E
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Вписанные в эту окружность углы AEB
и ADB
опираются на одну дугу, поэтому они равны.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Пусть M
— середина стороны BC
. Точка P
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, поэтому PB=PC
и
\angle BPC=2\angle BPM=2\angle ABC=2\beta=2\angle BEC.
Значит, точка E
лежит на окружности с центром P
и радиусом PB=PC
. Следовательно, PE=PB
(см. задачу 2900).
Аналогично для остальных случаев.
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2019