10736. Даны окружность и различные точки A
и B
. Через точку B
проведите прямую, высекающую на окружности хорду, которая была бы видна из точки A
под прямым углом.
Решение. Предположим, задача решена. Пусть прямая, проходящая через точку B
, пересекает окружность в различных точках P
и Q
, причём \angle PAQ=90^{\circ}
. Пусть O
— центр данной окружности, R
— её радиус, OM
— перпендикуляр к PQ
. Тогда AM
— медиана прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
AM^{2}=\frac{1}{4}PQ^{2}=PM^{2}=OP^{2}-OM^{2}=R^{2}-OM^{2}~\Rightarrow~OM^{2}+AM^{2}=R^{2}.
Пусть N
— середина отрезка OA
. Тогда по формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
MN=\frac{1}{2}\sqrt{2(OM^{2}+AM^{2})-OA^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2R^{2}-OA^{2}}.
Значит, точка M
лежит на окружности \Omega_{1}
с центром N
и радиусом \frac{1}{2}\sqrt{2R^{2}-OA^{2}}
. В то же время, точка M
лежит на окружности \Omega_{1}
, построенной на отрезке OB
как на диаметре. Следовательно, искомая прямая проходит через точку B
и точку M
пересечения окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
.