10755. Даны две окружности. Первая из них проходит через центр O
второй окружности и пересекает эту окружность в точках M
и N
(см. рисунок). Отрезок AB
— диаметр второй окружности. Прямые AM
и BN
пересекают первую окружность в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Докажите, что A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB
.
Решение. Первый способ. По теореме о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну дугу,
\angle A_{1}ON=\angle A_{1}MN=\angle AMN=\angle ABN=\angle ONB,
поэтому OA_{1}\parallel B_{1}N
. Хорды A_{1}B_{1}
и ON
, заключённые между параллельными хордами OA_{1}
и NB_{1}
, равны, следовательно,
A_{1}B_{1}=ON=\frac{1}{2}AB.
Второй способ. Пусть прямые MA
и BN
пересекаются в точке K
. Тогда точки O
и A_{1}
— середины сторон AB
и AK
треугольника ABK
(см. первый способ), а N
— основание высоты этого треугольника, проведённой из вершины A
. Значит, первая окружность — это окружность девяти точек треугольника ABK
(см. задачу 174), B_{1}
— середина стороны BK
, а A_{1}B_{1}
— средняя линия треугольника ABK
. Следовательно, A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB
.