10759. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD
треугольника ABC
пересекает луч BC
в точке N
. Докажите, что прямая NA
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Точка N
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
, поэтому треугольник AND
равнобедренный. Обозначим
\angle DAN=\angle ADN=\varphi,~\angle CAD=\angle BAD=\alpha.
Тогда
\angle CAN=\angle DAN-\angle CAD=\varphi-\alpha,
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABC=\angle ADC-\angle BAD=\varphi-\alpha.
Значит, \angle CAN=\angle ABC
. Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая NA
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 144).