10764. Постройте треугольник ABC
по его ортоцентру, вершине A
и середине стороны BC
.
Решение. Пусть H
— данный ортоцентр, A_{1}
— данная середина стороны BC
. через точку A_{1}
проведём прямую, параллельную AH
. На этой прямой отложим отрезок A_{1}O
. С центром в точке O
построим окружность радиусом, равным OA
. Через точку A_{1}
проведём прямую, перпендикулярную AH
. Эта окружность пересекает построенную окружность в искомых вершинах B
и C
.
Треугольник ABC
искомый, так как A_{1}
— середина его стороны BC
(см. задачу 1676), а H
— его ортоцентр (см. задачу 1257).
Задача имеет два решения (точки O
и A
лежат либо по одну сторону от прямой BC
, либо — по разные).