10774. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол 30^{\circ}
. Найдите площадь трапеции, если радиус описанной около неё окружности равен R
.
Ответ. \frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть BH
— высота данной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
, BD\perp AB
, \angle ADB=30^{\circ}
.
Отрезок AD
— диаметр окружности, описанной около трапеции ABCD
, так как \angle ABD=90^{\circ}
. Значит, AD=2R
. Тогда
AB=\frac{1}{2}AD=R,~BH=AB\sin60^{\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{2},~DH=BH\sqrt{3}=\frac{3}{2}R.
Поскольку DH=\frac{AD+BC}{2}
(см. задачу 1921), то
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=DH\cdot BH=\frac{3}{2}R\cdot\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}.