1921. Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
меньшего основания BC
равнобедренной трапеции ABCD
на её большее основание AD
. Найдите DP
и AP
, если основания трапеции равны a
и b
(a\gt b
).
Ответ. \frac{a-b}{2}
, \frac{a+b}{2}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из вершины B
на AD
.
Решение. Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на AD
. Из равенства прямоугольных треугольников ABQ
и DCP
следует, что AQ=DP
, а так как BCPQ
— прямоугольник, то PQ=BC=b
. Поэтому
DP=\frac{AD-PQ}{2}=\frac{a-b}{2},
AP=AD-DP=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}.
Примечание. Верно и обратное: если проекция диагонали трапеции на основание равна средней линии, то трапеция равнобедренная.
Доказательство. Пусть a\gt b
, а AP=\frac{a+b}{2}
— проекция диагонали AC
на основание AD=a
. Тогда
DP=AD-AP=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}.
Через вершину C
параллельно BD
проведём прямую до пересечения с прямой AD
в точке K
. Тогда
DK=BC=b,~PK=DK+DP=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=AP.
Высота CP
треугольника ACK
является его медианой, значит, треугольник ACK
равнобедренный, AC=CK=BD
, а трапеция ABCD
равнобедренная, так как её диагонали равны (см. задачу 1915).