10775. Дан треугольник ABC
, в котором \angle C=10^{\circ}
и \angle B=20^{\circ}
. Точка M
лежит вне треугольника ABC
, причём треугольник BMC
равносторонний и точки M
и A
лежат по разные стороны от прямой BC
. Найдите углы MAB
и MAC
.
Ответ. 80^{\circ}
, 70^{\circ}
.
Решение. С центром в точке M
построим окружность радиуса MA=MB
. Пусть K
— произвольная точка этой окружности, лежащая на большей дуге BC
. Тогда
\angle BKC+\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BMC+(180^{\circ}-\angle B-\angle C)=30^{\circ}+150^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, на этой окружности лежит и точка A
(см. задачу 49).
Центральный угол AMB
вдвое больше вписанного угла ACB
, т. е. \angle AMB=20^{\circ}
. Из равнобедренного треугольника AMB
находим, что
\angle MAB=\angle MBA=80^{\circ}.
Тогда
\angle MAC=\angle BAC-\angle MAB=150^{\circ}-80^{\circ}=70^{\circ}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 9.23, с. 71