10783. Диагональ равнобедренной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 и 12, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 2187.
Решение. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AB=a
и AD=b
, а a\lt b
. Тогда угол при вершине C
— тупой. Пусть CH
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{b-a}{2}.
При этом DH\lt CD=BC
.
Пусть E
— точка пересечения высоты CH
с диагональю BD
. Треугольник DEH
подобен треугольнику BEC
с коэффициентом \frac{DH}{BC}\lt1
, поэтому EH\lt CH
. Следовательно, EH=12
и CE=15
, а
\frac{\frac{b-a}{2}}{a}=\frac{DH}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},
откуда DH=\frac{b-a}{2}=\frac{4}{5}a
.
По теореме Пифагора DH^{2}+CH^{2}=CD^{2}
, или \frac{16}{25}a^{2}+27^{2}=a^{2}
, откуда находим, что a=45
. Тогда
\frac{b-a}{2}=\frac{4}{5}a~\Rightarrow~b-45=72~\Rightarrow~b=117.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot27=\frac{45+117}{2}\cdot27=81\cdot27=2187.