10784. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 и 9, а большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 936.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция с основаниями BC=a
и AD=b
, большей боковой стороной CD=BC=a
и высотой CH=15+9=24
. Из прямоугольного треугольника CDH
получаем, что DH\lt CD=BC
.
Пусть диагональ BD
пересекает высоту CH
в точке M
. Треугольник DMH
подобен треугольнику BMC
с коэффициентом \frac{DH}{BC}\lt1
, поэтому MH\lt CM
. Следовательно, MH=9
и CM=15
, а так как \angle BDC=\angle CBD=\angle BDA
, то DM
— биссектриса треугольника CDH
. Тогда
\frac{b-a}{a}=\frac{DH}{CD}=\frac{MH}{CM}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}
(см. задачу 1509), откуда DH=b-a=\frac{3}{5}a
.
По теореме Пифагора CH^{2}+DH^{2}=CD^{2}
, или 24^{2}+\frac{9}{25}a^{2}=a^{2}
, откуда a=30
, а так как b-a=\frac{3}{5}a
, то
b=a+\frac{3}{5}a=\frac{8}{5}a=\frac{8}{5}\cdot30=48.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{a+b}{2}\cdot24=(30+48)\cdot12=78\cdot12=936.