10785. В трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
точка P
— середина боковой стороны AB
. Найдите площадь треугольника CPD
, если площадь данной трапеции равна S
.
Ответ. \frac{1}{2}S
.
Решение. Продолжим отрезки BC
и PD
до пересечения в точке K
. Треугольник BPK
равен треугольнику APD
по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому PB
— медиана треугольника CPK
, а CP
— медиана треугольника DCK
. Значит,
S_{\triangle CPD}=S_{\triangle CPK}=S_{\triangle BPC}+S_{\triangle BPK}=S_{\triangle BPC}+S_{\triangle APD}=S-S_{\triangle CPD}.
Отсюда получаем, что S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}S
.
Примечание. Верно и обратное: если P
— середина стороны AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а площадь треугольника PDC
равна половине площади четырёхугольника ABCD
, то стороны BC
и AD
параллельны (см. задачу 5709).