10787. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48, а средняя линия трапеции равна 25. Найдите площадь трапеции
Ответ. 336.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
трапеции с основаниями BC
и AD
перпендикулярны и BD=48
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную BD
. Пусть P
— точка пересечения проведённой прямой с продолжением основания AD
. Тогда треугольник ACP
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, а его гипотенуза AP
равна сумме оснований трапеции, т. е. 50.
По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AP^{2}-CP^{2}}=\sqrt{QP^{2}-BD^{2}}=\sqrt{50^{2}-48^{2}}=14.
Следовательно (см. задачу 4668),
S_{ABCD}=S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}CP\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot48\cdot14=336.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 26.26, с. 190