10794. Диагонали трапеции перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований.
Решение. Середины сторон трапеции являются вершинами параллелограмма (см. задачу 1204). Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям трапеции, которые по условию перпендикулярны. Значит, этот параллелограмм — прямоугольник. Его диагонали равны. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Верно и обратное: если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований, то диагонали трапеции перпендикулярны.
Действительно, середины сторон трапеции являются вершинами параллелограмма (см. задачу 1204). Диагонали этого параллелограмма равны, значит, это прямоугольник. Соседние стороны этого прямоугольника соответственно параллельны диагоналям трапеции, следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 7.35, с. 51