10796. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 30^{\circ}
. Медиана CM
треугольника равна его высоте, проведённой из вершины A
. Найдите углы треугольника ABC
при вершинах C
и A
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Опустим перпендикуляр MF
из точки M
на прямую BC
. Тогда MF
— средняя линия прямоугольного треугольника ABH
, поэтому
MF=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}AM.
Катет MF
прямоугольного треугольника CMF
вдвое меньше гипотенузы CM
, поэтому
\angle BCM=\angle FCM=30^{\circ}=\angle CBM.
Значит, треугольник BCM
равнобедренный,
CM=MB=MA=\frac{1}{2}AB.
Медиана CM
треугольника ABC
равна половине стороны AB
, поэтому треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
. (см. задачу 1188). Тогда
\angle BAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 6.21, с. 43