10804. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.
Решение. Пусть искомый параллелограмм ABCD
построен, AB=a
и AD=b
— его данные стороны, O
— точка пересечения диагоналей, \angle AOD=\alpha
— данный угол между диагоналями.
Соединим точку O
с серединой M
стороны AD
. Тогда OM
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому
OM=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},~OM\parallel AB.
Треугольник AOD
можно построить по стороне AD=b
, противолежащему углу при вершине O
, равному \alpha
и медиане OM
, проведённой из вершины этого угла (см. задачу 278). Затем на лучах AO
и DO
отложим отрезки OC
и OB
соответственно, равные OA
и OC
. Тогда ABCD
— искомый параллелограмм.
Действительно, по построению диагонали AC
и BD
этого четырёхугольника делятся точкой O
пересечения пополам, значит, это параллелограмм, угол между его диагоналями равен углу AOD
, т. е. \alpha
, AD=b
и AB=2OM=a
.