10805. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника, проведённые из вершин B
и C
, пересекают описанную окружность в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. Найдите угол A
, если известно, что прямая B_{1}C_{1}
проходит через центр описанной окружности.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, P
и Q
— основания высот треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
соответственно. Тогда AP
— высота и медиана треугольника HAB_{1}
(см. задачу 4785), поэтому AP
— биссектриса этого равнобедренного треугольника. Аналогично, AQ
— биссектриса равнобедренного треугольника HAC_{1}
.
Точка A
лежит на окружности с диаметром B_{1}C_{1}
, поэтому \angle B_{1}AC_{1}=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle BAH+\angle CAH=\frac{1}{2}\angle HAC_{1}+\frac{1}{2}\angle HAB_{1}=
=\frac{1}{2}(\angle HAC_{1}+\angle HAB_{1})=\frac{1}{2}\angle B_{1}AC_{1}=45^{\circ}.