4785. Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC
относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.
Указание. Пусть H_{1}
— точка пересечения продолжения высоты AA_{1}
треугольника ABC
с описанной окружностью. Докажите, что треугольник HBH_{1}
— равнобедренный.
Решение. Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
Пусть ABC
— остроугольный треугольник, H
— точка пересечения его высот, H_{1}
— точка пересечения продолжения отрезка AH
за точку H
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда
\angle BH_{1}H=\angle BH_{1}A=\angle ACB=\angle BHH_{1}.
Поэтому треугольник HBH_{1}
— равнобедренный. Следовательно, перпендикуляр BC
к его стороне HH_{1}
проходит через середину отрезка HH_{1}
, т. е. точка H_{1}
симметрична точке H
относительно прямой BC
.
Аналогично проводится доказательство для тупоугольного треугольника.
Примечание. См. также задачу 5046.