5046. Высоты треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
, AHB
, BHC
и AHC
, равны между собой.
Указание. Докажите, что точка, симметричная точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника, лежит на его описанной окружности. (Или примените теорему синусов: a=2R\sin\angle A
.)
Решение. Первый способ. Пусть H_{1}
— точка, симметричная точке H
относительно прямой BC
. Тогда
\angle BH_{1}C=\angle BHC=180^{\circ}-\angle A.
Поэтому точка H_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, описанная окружность треугольника BHC
симметрична описанной окружности треугольника ABC
относительно прямой BC
. Остальное аналогично.
Второй способ. Пусть R
и R_{1}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABC
и BHC
соответственно. Тогда
R=\frac{BC}{2\sin\angle A}=\frac{BC}{2\sin\angle BHC}=R_{1}.
Остальное аналогично.
Примечание. Верно и обратное утверждение: если точка H
такова, что окружности, описанные около треугольников ABC
, AHB
, BHC
и AHC
, равны, то H
— ортоцентр треугольника ABC
(см. задачу 12499).