12499. В остроугольном треугольнике ABC
выбрана точка H
, для которой радиусы описанных окружностей треугольников AHB
, BHC
и CHA
равны. Доказать, что H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Обозначим середины отрезков AH
, BH
и CH
через P
, Q
и R
соответственно, а центры описанных окружностей треугольников AHB
, BHC
и CHA
через O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
соответственно. Из условия следует, что четырёхугольники AO_{1}HO_{3}
, BO_{2}HO_{1}
и CO_{3}HO_{2}
— ромбы, поэтому точки P
, Q
и R
— середины отрезков O_{1}O_{3}
, O_{1}O_{2}
и O_{2}O_{3}
, а также AH\perp O_{1}O_{3}
, BH\perp O_{1}O_{2}
и CH\perp O_{2}O_{3}
. Тогда отрезок PQ
, например, является одновременно средней линией треугольников AHB
и O_{1}O_{2}O_{3}
. Следовательно, сторона AB
и отрезок O_{2}O_{3}
равны и параллельны. В ромбе CO_{3}HO_{2}
диагональ HC
перпендикулярна диагонали O_{2}O_{3}
, поэтому HC
перпендикулярна стороне AB
треугольника ABC
. Последнее означает, что точка H
лежит на высоте треугольника, опущенной из вершины C
. Аналогично доказывается, что H
лежит и на остальных высотах, т. е. H
— их точка пересечения (ортоцентр треугольника).
Примечание. 1. Утверждение верно и для тупоугольного треугольника.
2. Верно и обратное утверждение: если H
— ортоцентр треугольника ABC
, то радиусы описанных окружностей треугольников AHB
, BHC
, CHA
и ABC
равны (см. задачу 5046).