10808. Постройте треугольник ABC
по центру O
описанной окружности, центру I
вписанной окружности и точке A_{1}
пересечения биссектрисы угла A
с описанной окружностью.
Решение. Предположим, искомый треугольник ABC
построен. По теореме о «трилистнике» (см. задачу 788) A_{1}B=A_{1}C=A_{1}I
. Отсюда вытекает следующее построение.
С центром в данной точке O
строим окружность S
радиусом OA_{1}
. Точка пересечения этой окружности с лучом A_{1}I
есть вершина A
искомого треугольника. С центром в точке A_{1}
строим окружность радиусом A_{1}I
. Точки пересечения этой окружности с окружностью S
есть вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Действительно, по построению O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, точка A_{1}
— середина не содержащей точки A
дуги окружности S
, поэтому AA_{1}
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 430). Обозначим
\angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=\alpha,~\angle ACI=\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle CIA_{1}=\alpha+\beta
, а так как по построению треугольник CIA_{1}
равнобедренный, то
\angle ICA_{1}=\angle CIA_{1}=\alpha+\beta.
Значит,
\angle ICB=\angle ICA_{1}-\angle BCA_{1}=\angle ICA_{1}-\angle BAA_{1}=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta,
т. е. CI
— биссектриса угла ACB
. Следовательно, I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр его вписанной окружности.