10812. В треугольнике ABC
проведены медианы AA_{1}
и CC_{1}
. Известно, что \angle AA_{1}C=\angle CC_{1}A
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Указание. Точки A
, C
, A_{1}
и C_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Из точек A_{1}
и C_{1}
, лежащих по одну сторону от прямой AC
, сторона AC
видна под одним и тем же углом, значит, точки A
, C
, A_{1}
и C_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Параллельные хорды A_{1}C_{1}
и AC
высекают на ней равные хорды AC_{1}
и CA_{1}
. Значит, AC_{1}=CA_{1}
. Следовательно, AB=BC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.