10819. Докажите, что если:
а) диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны;
б) диагонали четырёхугольника равны, то отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, перпендикулярны.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DA
четырёхугольника ABCD
. Тогда KLMN
— параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям AC
и BD
четырёхугольника ABCD
(см. задачу 1204).
а) Если диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны, то параллельные им соседние стороны параллелограмма KL
и LM
тоже перпендикулярны. Значит, KLMN
— прямоугольник. Следовательно, его диагонали KM
и LN
равны.
б) Если AC
и BD
равны, этот параллелограмм — прямоугольник, поэтому его соседние стороны KL
и LM
перпендикулярны. Следовательно, параллельные им диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
тоже перпендикулярны.