10826. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются данными точками.
Решение. Поскольку центр описанной окружности и ортоцентр искомого треугольника лежат по одну сторону от прямой, содержащей его сторону, этот треугольник остроугольный.
Рассмотрим случай, когда данные центр O
описанной окружности искомого треугольника ABC
и ортоцентр H
не лежат на перпендикуляре к данной прямой l
.
Опустим перпендикуляр OM
из данной точки O
на данную прямую l
. Через данную точку H
проведём прямую, параллельную OM
. На этой прямой отложим отрезок HC=2OM
так, чтобы точки C
и O
лежали по разные стороны от прямой OH
. С центром в точке O
построим окружность радиусом OC
. Пусть эта окружность пересекает данную прямую l
в точках A
и B
. Тогда ABC
— искомый треугольник.
Действительно, по построению точка O
— центр его описанной окружности, сторона AB
лежит на данной прямой l
. Пусть CP
— высота треугольника ABC
, Тогда точка H
лежит на отрезке CP
, и по построению CH=OM
. Значит, H
— ортоцентр треугольника ABC
(см. задачу 1257).
Если данные точки O
и H
лежат на перпендикуляре к данной прямой l
, построение очевидно.