10827. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, BC
и AC
соответственно в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
. Через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
проведены прямые, параллельные биссектрисам углов A
, B
и C
соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда AI
— биссектриса угла BAC
, поэтому AI\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 1180). Следовательно, прямая, проходящая через точку A_{1}
параллельно AI
, также перпендикулярна B_{1}C_{1}
, а значит, содержит высоту треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённую из вершины A_{1}
. Аналогично для двух других прямых, о которых говорится в условии задачи. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (см. задачу 1256). Отсюда следует утверждение задачи.