10834. На плоскости дан отрезок BC
. Найдите геометрическое место точек A
плоскости, для которых медиана, проведённая из вершины C
треугольника ABC
, равна стороне AB
.
Ответ. Окружность.
Решение. На продолжении данного отрезка BC
за точку C
отложим отрезок CD=BC
. Пусть A
— точка, для которой медиана CM
треугольника ABC
равна стороне AB
. Тогда по теореме Фалеса AD=2CM=2AB
. Это означает, что точка A
лежит на окружности Аполлония для точек B
, D
и отношения AD:AB=2:1
(см. задачу 2444).
Обратно, если точка A
лежит на этой окружности, то CM=\frac{1}{2}AD=AB
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.