2444. Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m:n
(окружность Аполлония).
Ответ. Окружность, если m\ne n
. Если m=n
, то искомое геометрическое место точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в данных точках.
Указание. Воспользуйтесь свойствами биссектрис внутреннего и внешнего угла треугольника.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, когда m\ne n
. Пусть A
и B
— данные точки. Пусть точка P
такова, что \frac{PA}{PB}=\frac{m}{n}
. Если точка P
не лежит на прямой AB
, то проведём биссектрису PC
треугольника APB
и биссектрису внешнего угла треугольника APB
, смежного с углом APB
, до пересечения с прямой AB
в точке C_{1}
. Тогда (см. задачу 1645)
\frac{AC}{BC}=\frac{AC_{1}}{BC_{1}}=\frac{AP}{BP}=\frac{m}{n},
а угол CPC_{1}
— прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Следовательно, точка P
лежит на окружности с диаметром CC_{1}
.
Пусть теперь M
— произвольная точка окружности с диаметром CC_{1}
, отличная от C
и C_{1}
(для которых всё и так ясно). Тогда \angle CMC_{1}=90^{\circ}
. Проведём через точку B
прямую, параллельную AM
. Пусть K
и L
— точки пересечения проведённой прямой с прямыми MC_{1}
и MC
. Из подобия треугольников BKC_{1}
и AMC_{1}
следует, что
\frac{AM}{BK}=\frac{AC_{1}}{BC_{1}}=\frac{m}{n},
а из подобия треугольников BLC
и AMC
—
\frac{AM}{BL}=\frac{AC}{CB}=\frac{m}{n}.
Из полученных равенств следует, что BK=BL
. Поэтому MB
— медиана прямоугольного треугольника KML
с прямым углом при вершине M
. Следовательно (см. задачу 1109),
MB=BK,~\frac{AM}{MB}=\frac{AM}{BK}=\frac{m}{n},
что и требовалось доказать.
Второй способ. Введём систему координат на плоскости так, чтобы точки A
и B
имели координаты (-a;0)
и (a;0)
соответственно. Если точка P
имеет координаты (x;y)
, то
\frac{AP^{2}}{BP^{2}}=\frac{(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}.
Уравнение \frac{AP^{2}}{BP^{2}}=\frac{m^{2}}{n^{2}}
приводится к виду
\left(x+\frac{a(m^{2}+n^{2})}{n^{2}-m^{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{2mna}{n^{2}-m^{2}}\right)^{2}.
Это уравнение окружности с центром \left(\frac{a(m^{2}+n^{2})}{m^{2}-n^{2}};0\right)
и радиусом \frac{2mna}{|m^{2}-n^{2}|}
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.