10837. Окружностью Аполлония треугольника ABC
называется окружность с диаметром, концы которого — основания биссектрис внутреннего и внешнего угла при какой-нибудь вершине треугольника. С помощью одной линейки постройте отрезок, равный диаметру одной из окружностей Аполлония данного треугольника ABC
, если дан центр I
вписанной окружности треугольника.
Указание. См. задачу 10713.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачу 10713). Если L_{2}
и L_{3}
— основания биссектрис треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
соответственно, а прямые BC
и L_{2}L_{3}
пересекаются в точке Q
, то Q
— основание биссектрисы внешнего угла треугольника, проведённой из вершины A
.
Из этого утверждения следует, что искомый диаметр окружности Аполлония для стороны BC
и отношения \frac{AC}{AB}
— это отрезок L_{1}Q
, где L_{1}
— точка пересечения прямых AI
и BC
, а Q
— точка пересечения прямых L_{2}L_{3}
и BC
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.