10713. AA_{1}
и BB_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
. Прямые A_{1}B_{1}
и AB
пересекаются в точке Q
. Докажите, что CQ
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
.
Указание. См. задачу 1630.
Решение. Первый способ. Пусть N
и F
— проекции точки Q
на прямые AC
и BC
соответственно. Обозначим QN=y
, QF=z
. Тогда y=x+z
, где x
— расстояние от точки Q
до прямой AB
(см. примечание к задаче 1630), а так как точка Q
лежит на прямой AB
, то x=0
. Значит, y=z
, т. е. точка Q
равноудалена от сторон внешнего угла треугольника ABC
при вершине C
. Следовательно, CQ
— биссектриса этого угла.
Второй способ. Обозначим AB=c
, AC=b
и BC=a
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.
Тогда по теореме Менелая (см. задачу 1622)
1=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AQ}{QB}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{a}{c}\cdot\frac{AQ}{QB}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{AQ}{QB}.
Отсюда находим, что \frac{AQ}{QB}=\frac{b}{a}
. Следовательно, CQ
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
, проведённая из вершины C
(см. задачу 1645).
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.