10838. Постройте четырёхугольник ABCD
с равными и перпендикулярными диагоналями по заданным трём его сторонам.
Решение. Предположим, искомый четырёхугольник ABCD
построен, AB=a
, BC=b
и CD=c
— его данные стороны, AC\perp BD
и AC=BD
. Достроим его до квадрата EFGH
(см. рис.), проведя через вершины A
и C
прямые, параллельные BD
, а через вершины B
и D
— прямые, параллельные AC
. Пусть K
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Тогда
KE=AB=a,~KF=BC=b,~KG=CD=c.
Отсюда вытекает следующее решение. Строим произвольный квадрат E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}
. Для отрезка E_{1}F_{1}
и отношения \frac{a}{b}
строим окружность Аполлония (см. задачу 1826). Для отрезка F_{1}G_{1}
и отношения \frac{b}{c}
также строим окружность Аполлония. Пусть эти две окружности пересекутся в точках K_{1}
и K_{2}
. Через точку K_{1}
проведём две прямые, параллельные сторонам построенного квадрата. Получим четырёхугольник с вершинами A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
на сторонах соответственно E_{1}H_{1}
, E_{1}F_{1}
, F_{1}G_{1}
и G_{1}H_{1}
квадрата E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}
. Искомый четырёхугольник ABCD
гомотетичен построенному с центром гомотетии K_{1}
и коэффициентом \frac{a}{K_{1}E_{1}}
. Аналогично для точки K_{2}
.
Задача имеет два решения.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.