1826. С помощью циркуля и линейки по данному отрезку и данному отношению постройте окружность Аполлония.
Решение. Первый способ. Пусть AB=a
— данный отрезок. Требуется построить геометрическое место точек M
, отношение расстояний от каждой из которых до концов отрезка AB
равно отношению двух данных отрезков m
и n
.
Пусть m\gt n
. Через точку A
проведём произвольный луч под углом к AB
, отличным от развёрнутого. На этом луче последовательно отложим отрезки AM=m
и MN=n
. Через точку M
проведём прямую, параллельную NB
, до пересечения с отрезком AB
в точке P
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}
.
На продолжении отрезка AB
за точку B
построим такую точку Q
, что \frac{QB}{a}=\frac{n}{m-n}
(см. задачу 2608). Тогда
\frac{AQ}{QB}=\frac{AB+QB}{QB}=\frac{a+\frac{an}{m-n}}{\frac{an}{m-n}}=\frac{m}{n}.
Тогда искомая окружность Аполлония — это окружность с диаметром PQ
(см. задачу 2444).
Второй способ. Пусть AB=a
— данный отрезок. Требуется построить геометрическое место точек M
, отношение расстояний от каждой из которых до концов отрезка AB
равно отношению двух данных отрезков m
и n
.
На отрезке AB
построим такую точку P
, что \frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}
(см. первый способ). Проведём произвольную прямую l
, пересекающую отрезок AB
в точке P
. Затем построим точку K
, симметричную B
относительно этой прямой. Пусть C
— точка пересечения прямых AK
и l
. Тогда CP
— биссектриса треугольника ABC
(см. задачу 5011). Затем построим биссектрису внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
. Пусть Q
— точка её пересечения с прямой AB
. Окружность с диаметром PQ
и есть искомая окружность Аполлония (см. задачу 2444).