10839. Докажите, что общая хорда описанной окружности треугольника ABC
и окружности Аполлония лежит на симедиане этого треугольника (т. е. на прямой, симметричной медиане относительно биссектрисы).
Решение. Обозначим AC=b
и AB=c
. Пусть AL_{1}
— биссектриса треугольника ABC
, AM_{1}
— медиана, AN_{1}
— симедиана. По свойству симедианы \frac{CN_{1}}{BN_{1}}=\frac{b^{2}}{c_{2}}
(см. задачу 4121).
Пусть Q
— основание биссектрисы внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
, AT
— общая хорда описанной окружности треугольника и окружности Аполлония с диаметром L_{1}Q
, K
— точка пересечения прямых AT
и BC
. Треугольник ABK
подобен треугольнику CTK
, а треугольник ACK
— треугольнику BTK
, поэтому
\frac{CK}{AK}=\frac{CT}{AB}=\frac{CT}{c},~\frac{BK}{AK}=\frac{BT}{AC}=\frac{BT}{b}.
Отсюда получаем, что
\frac{CK}{BK}=\frac{CT}{BT}\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot\frac{b}{c}=\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{CN_{1}}{BN_{1}}
(точка T
лежит на окружности Аполлония для отрезка BC
и отношения \frac{b}{c}
). Значит, точка K
совпадает с N_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.