10840. В точках A
и B
посреди океана находятся два корабля. Они начинают двигаться прямолинейно и равномерно в неизвестных направлениях со скоростями 20 км/ч и 15 км/ч, пока не встречаются в точке C
. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи, если AB=50
км?
Ответ. 10 часов.
Решение. Пусть корабль, находящийся в точке A
, имеет большую скорость. Отношение скоростей кораблей равно 4:3
, значит, точка встречи C
лежит на окружности Аполлония отрезка AB
и отношения \frac{4}{3}
, т. е. окружности с диаметром LQ
, где L
и Q
— точки, делящие отрезок AB
в отношении \frac{4}{3}
внутренним и внешним образом соответственно (см. задачу 2444). Если точка C
не лежит на прямой AB
, то L
и Q
основания биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине C
треугольника ABC
.
Время движения до встречи будет наибольшим, если точка встречи — это точка Q
. В этом случае \frac{AQ}{BQ}=\frac{4}{3}
, или \frac{50+BQ}{BQ}=\frac{4}{3}
, откуда находим, что BQ=150
. Значит, время движения корабля из B
до точки Q
равно \frac{150}{15}=10
(часов).
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.