10841. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
, проведённая в точке A
, пересекает продолжение стороны BC
в точке K
, а Q
— основание биссектрисы внешнего угла треугольника при вершине A
. Известно, что AK=k
и AQ=n
. Найдите биссектрису AL
треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{4k^{2}-n^{2}}
.
Решение. Рассмотрим окружность с диаметром LQ
— окружность Аполлония отрезка BC
и отношения \frac{AB}{AC}
. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
, проведённая в точке A
, пересекает диаметр LQ
окружности Аполлония в его середине (см. задачу 10832), поэтому AK
— радиус окружности Аполлония. Значит, LQ=2AK=2k
. По теореме Пифагора
AL=\sqrt{LQ^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4k^{2}-n^{2}}.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.