10832. Пусть O_{1}
— центр окружности Аполлония для вершин B
и C
треугольника ABC
и отношения \frac{AC}{AB}
. Докажите, что прямая AO_{1}
касается описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, когда AC\gt AB
. Тогда основание Q
биссектрисы внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
.
Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда рассматриваемая окружность Аполлония — это окружность с диаметром LQ
, а O_{1}
— середина отрезка LQ
. Обозначим
\angle ACB=\gamma,~\angle ALO_{1}=\angle LAO_{1}=\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAL=\angle CAL=\angle ALO_{1}-\angle ACB=\alpha-\gamma,
поэтому
\angle BAO_{1}=\angle LAO_{1}-\angle BAL=\alpha-(\alpha-\gamma)=\gamma=\angle ACB.
Следовательно (см. задачу 144), AO_{1}
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
.
Второй способ. См. задачу 4352.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.