10842. Отрезок AL
— биссектриса треугольника ABC
. Известно, что BL=n
и CL=m
. Найдите радиус окружности Аполлония стороны BC
и отношения m:n
.
Ответ. \frac{mn}{|n-m|}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда BL\gt CL
. Пусть Q
— основание биссектрисы внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
. Тогда LQ
— диаметр окружности Аполлония (см. задачу 2444), а так как
\frac{BQ}{QC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}=\frac{n}{m}~\mbox{и}~\frac{BQ}{QC}=\frac{n+m+QC}{QC},
то \frac{n+m+QC}{QC}=\frac{n}{m}
. Отсюда находим, что QC=\frac{mn+m^{2}}{n-m}
. Значит,
LQ=CL+QC=m+\frac{mn+m^{2}}{n-m}=\frac{2mn}{n-m}.
Следовательно, радиус искомой окружности Аполлония равен \frac{mn}{n-m}
.
Для n\lt m
аналогично получим, что радиус равен \frac{mn}{m-n}
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.