10843. Точки A
, B
и C
последовательно расположены на одной прямой, причём точка B
лежит между A
и C
, AB\ne BC
. Возьмём произвольную окружность с центром B
, не содержащую внутри себя точек A
и C
, и обозначим через M
точку пересечения касательных к этой окружности, проведённых через A
и C
. Найдите геометрическое место точек M
.
Ответ. Окружность с диаметром на прямой AC
без концов этого диаметра.
Решение. Пусть M
— точка пересечения касательных из A
и B
к одной из таких окружностей. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MB
— биссектриса угла AMC
. Тогда MA:MC=AB:BC
. Следовательно, точка M
лежит на окружности Аполлония отрезка AC
и отношения AB:BC
. Диаметр этой окружности — отрезок BQ
, где Q
— точка на прямой AC
, причём AQ:QC=AB:BC
.
Обратно, пусть точка M
, отличная от B
и Q
, лежит на указанной выше окружности Аполлония. Тогда, так как MA:MC=AB:BC
, то MB
— биссектриса угла ACM
(см. задачу 1510). Значит, точка B
равноудалена от сторон угла AMC
, т. е. MA
и MC
— касательные к некоторой окружности с центром B
и радиусом, равным расстояниям от точки B
до сторон угла AMC
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.