10869. Перпендикуляры BE
и DF
, опущенные из вершин B
и D
прямоугольника ABCD
на диагональ AC
, делят эту диагональ на три равные части. Найти большую сторону прямоугольника, если меньшая сторона равна \sqrt{2}
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть AB
— меньшая сторона треугольника. Обозначим AE=EF=FC=x
. Отрезок BE
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому 100000000000000
AB^{2}=AE\cdot AC~\mbox{и}~BC^{2}=EC\cdot AC
(см. задачу 2728), а так как AB=\sqrt{2}
, то
2=AB^{2}=AE\cdot AC=x\cdot3x=3x^{2}.
Отсюда находим, что x=\sqrt{\frac{2}{3}}
. Следовательно,
BC=\sqrt{EC\cdot AC}=\sqrt{2x\cdot3x}=x\sqrt{6}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\sqrt{6}=2.
Для случая, когда BC
— меньшая сторона, аналогично получим, что AB=2
.