10870. Биссектриса AL
и медиана BM
треугольника ABC
равны, перпендикулярны и пересекаются в точке K
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если KL=1
.
Ответ. \frac{13\sqrt{5}}{8}
.
Решение. Пусть N
— середина отрезка CL
. Тогда MN
— средняя линия треугольника AMN
, поэтому MN=2
. Биссектриса AK
треугольника ABM
является его высотой, поэтому треугольник ABM
равнобедренный, AB=AM
. Тогда AC=2AM=2AB
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}
, поэтому N
— середина LC
, а MN
— средняя линия треугольника ACL
. Тогда
AL=2MN=4,~AK=AL-KL=4-1=3,~BK=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}AL=2.
По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AK^{2}+BK^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13},
BL=\sqrt{BK^{2}+KL^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Значит,
AC=2AM=2AB=2\sqrt{13},~BC=3BL=3\sqrt{5}.
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника BAM
находим, что
\cos\angle BAM=\frac{AB^{2}+AM^{2}-BM^{2}}{2AB\cdot AM}=\frac{13+13-16}{2\cdot\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{5}{13}.
Тогда
\sin\angle BAC=\sin\angle BAM=\frac{12}{13}.
Следовательно, если искомый радиус равен R
, то
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot\frac{12}{13}}=\frac{13\sqrt{5}}{8}.