10890. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
выбраны точки соответственно M
и N
так, что \angle MAN=45^{\circ}
. Лучи AM
и AN
пересекают окружность, описанную около квадрата, в точках M_{1}
и N_{1}
соответственно. Докажите, что M_{1}N_{1}\parallel MN
.
Решение. Первый способ. Пусть лучи AM
и AN
пересекают диагональ BD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда \angle MAQ=\angle MBQ=45^{\circ}
. Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой MQ
, отрезок MQ
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, M
и Q
лежат на одной окружности. При этом \angle ABM=90^{\circ}
, поэтому AM
— диаметр этой окружности. Тогда \angle AQM=90^{\circ}
, т. е. MQ
— высота треугольника MAN
. Аналогично, NP
— тоже высота этого треугольника. Значит, отрезки PQ
и MN
антипараллельны (см. задачу 141).
Точки M_{1}
и N_{1}
лежат на окружности, описанной около квадрата ABCD
, поэтому четырёхугольник BM_{1}N_{1}D
вписанный. Пусть K
— точка на продолжении отрезка AM_{1}
за точку M_{1}
. Тогда
\angle KM_{1}N_{1}=180^{\circ}-\angle BM_{1}N=\angle BDN_{1},
поэтому отрезки M_{1}N_{1}
и BD
(а значит, и PQ
) также антипараллельны. Следовательно, MN\parallel PQ
.
Второй способ. Центр окружности, описанной около квадрата, — точка пересечения диагоналей квадрата, а центр O
описанной окружности треугольника MAN
лежит на диагонали AC
(см. задачу 10251). Эти две окружности проходят через точку A
, а их центры лежат на прямой, проходящей через A
, значит, существует гомотетия с центром A
, при которой первая из этих окружностей переходит во вторую. Тогда точки M
и N
переходят в M_{1}
и N_{1}
соответственно. Следовательно, M_{1}N_{1}\parallel MN
.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.