10891. Радиус одной из двух концентрических окружностей вдвое больше радиуса другой. В меньшую окружность вписан треугольник ABC
. Лучи CA
, AB
и BC
пересекают большую окружность в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Докажите, что периметр треугольника A'B'C'
не меньше удвоенного периметра треугольника ABC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, B'C'=a'
, A'C'=b'
, A'B'=c'
. Пусть O
— общий центр данных окружностей, а радиус меньшей окружности равен r
.
По неравенству Птолемея (см. задачу 10938) из четырёхугольника OBB'C'
получаем
B'C'\cdot OB+BB'\cdot OC'\geqslant\cdot BC',~\mbox{или}~a'r+BB'\cdot2r\geqslant2r(a+CC'),
откуда
a'\gt2a+2CC'-2BB'.
Аналогично,
b'\gt2b+2AA'-2CC',~c'\gt2c+2BB'-2AA'.
Сложив эти три неравенства, получим
a'+b'+c'\geqslant2(a+b+c).
Что и требовалось доказать.
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда все четырёхугольники OBB'C'
, OCC'A'
и OBB'C'
вписанные.
Четырёхугольник OBB'C'
вписанный тогда и только тогда, когда
\angle OBC=\angle OB'C'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B'OC')=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B'BC')=\frac{1}{2}\angle CBA,
т. е. OB
— биссектриса угла B
треугольника ABC
. Аналогично для OA
и OC
. Таким образом равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка центр O
описанной окружности треугольника ABC
совпадает с центром его вписанной окружности, т. е. тогда и только тогда, когда треугольник ABC
равносторонний (см. задачу 220).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 6, задача 1113 (1986, с. 26), с. 184