10904. В треугольнике ABC
известно, что AB=3\sqrt{2}
, BC=1
и площадь равна 1,5. Из точки K
его описанной окружности опущены перпендикуляры KM
и KN
на прямые BC
и AB
. Найдите наибольшее значение длины отрезка MN
.
Ответ. 5.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, \angle ABC=\alpha
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\alpha,~\mbox{или}~\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot1\cdot\sin\alpha,
откуда \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}
. Значит, \alpha=45^{\circ}
или \alpha=135^{\circ}
. Тогда \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}
или \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}}
. В первом случае по теореме косинусов
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\alpha}=\sqrt{18+1-2\cdot3\sqrt{2}\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{13}.
Следовательно, в этом случае наибольшее значение длины отрезка MN
равно длине стороны AC
(см. задачу 10173), т. е. \sqrt{13}
.
Во втором случае
AC=\sqrt{18+1+2\cdot3\sqrt{2}\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{25}=5.
В этом случае наибольшее значение длины отрезка MN
равно также равно AC
, т. е. 5
, а так как 5\gt\sqrt{13}
, то наибольшее значение длины отрезка MN
равно 5
.