10905. Из точки D
описанной окружности треугольника ABC
опущены перпендикуляры DE
и DF
на прямые AB
и AC
. Найдите наибольшее значение длины отрезка EF
, если AB=5
, AC=3
, а площадь треугольника ABC
равна \frac{15\sqrt{3}}{4}
.
Ответ. 7.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\alpha,~\mbox{или}~\frac{15\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot3\cdot\sin\alpha,
откуда \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Значит, \alpha=60^{\circ}
или \alpha=120^{\circ}
. Тогда \cos\alpha=\frac{1}{2}
или \cos\alpha=-\frac{1}{2}
. В первом случае по теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha}=\sqrt{25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{19},
Следовательно, в этом случае наибольшее значение длины отрезка EF
равно длине стороны BC
(см. задачу 10173), т. е. \sqrt{19}
.
Во втором случае
BC=\sqrt{25+9+2\cdot5\cdot3\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{49}=7.
В этом случае наибольшее значение длины отрезка EF
также равно BC
, т. е. 7
, а так как 7\gt\sqrt{19}
, то наибольшее значение длины отрезка EF
равно 7
.