10907. В трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
угол DAB
прямой. Известно, что на стороне CD
существует единственная точка M
, для которой угол BMA
прямой. Докажите, что BC=CM
и AD=MD
.
Решение. На меньшей боковой стороне AB
данной прямоугольной трапеции ABCD
как на диаметре построим окружность. Поскольку из точки M
отрезок AB
виде под прямым углом, точка M
лежит на этой окружности, причём на прямой CD
такая точка единственная. Значит, это точка касания построенной окружности и прямой CD
, а так как A
и B
— точки касания этой окружности с прямыми AD
и BC
(см. задачу 1735), то BC=CM
и AD=MD
.