10911. В неравнобедренном треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. Продолжение медианы, проведённой из вершины B
, пересекает окружность \omega
, описанную около треугольника ABC
, в точке D
. Через центр окружности, описанной около треугольника BDL
, проведена прямая l
, параллельная прямой AC
. Докажите, что окружность \omega
касается прямой l
.
Решение. Пусть M
— середина отрезка AC
, S
— вторая точка пересечения прямой BL
с окружностью \omega
, N
— середина дуги ABC
. Тогда S
— середина меньшей дуги AC
окружности \omega
, а точки M
, S
, N
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, т. е. на диаметре SN
окружности \omega
. Тогда
\angle LBN=\angle SBN=90^{\circ}=\angle LMN,
значит, что четырёхугольник BLMN
вписанный.
Обозначим \angle MBL=\alpha
. Тогда \angle MNL=\alpha
, а так как четырёхугольник BNDS
вписанный, то
\angle SND=\angle SBD=\alpha.
Тогда \angle LND=2\alpha
.
На продолжении отрезка DN
за точку N
отметим точку T
так, что LN=NT
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle LTN=\angle TLN=\frac{1}{2}\angle LND=\alpha.
Значит,
\angle LTD=\alpha=\angle LBD,
поэтому точка T
лежит на окружности \Gamma
, описанной около треугольника BDL
(см. задачу 12).
Пусть l'
— касательная в точке N
к окружности \omega
. Поскольку SN
— диаметр \omega
, то l'\perp SN
и l'\parallel AC
. Но NS
— биссектрисой угла, смежного с углом LNT
, поэтому l'
— биссектриса угла LNT
, а так как NL=TN
, то l'
— серединный перпендикуляр к отрезку TL
, а значит, проходит через центр окружности \Gamma
. Следовательно, прямые l
и l'
совпадают, и прямая l
касается окружности \omega
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, региональный тур, № 5, 10 класс