10914. Окружность, проходящая через вершину B
прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC
, пересекает катеты этого треугольника в точках M
и N
. Оказалось, что AC=2MN
. Докажите, что M
и N
— середины катетов треугольника ABC
.
Решение. Пусть точка M
лежит на AB
, а N
— на BC
и пусть K
— середина AC
. Отрезок MN
— диаметр данной окружности, так как угол B
прямой. Поскольку
BK=\frac{1}{2}AC=MN
(см. задачу 1109), то BK
— тоже диаметр. Тогда углы BMK
и BNK
прямые, поэтому KM
и KN
— средние линии треугольника ABC
. Следовательно, M
и N
— середины катетов.