10916. В треугольнике ABC
точка M
— середина стороны BC
, точка E
— произвольная точка внутри стороны AC
. Известно, что BE\geqslant2AM
. Докажите, что треугольник ABC
тупоугольный.
Решение. Пусть X
— середина отрезка EC
. Тогда точка X
отлична от A
и C
и
MX=\frac{1}{2}BE\geqslant MA.
Если MX\geqslant MC
, то концы отрезка AC
(а значит, и сам отрезок), лежат внутри круга с центром M
и радиусом MX
. Тогда X
не может лежать на границе этого круга. Противоречие. Значит, MC\gt MX\geqslant MA
. Тогда A
лежит внутри круга с центром M
и диаметром BC
(см. задачу 1772). Следовательно, угол A
тупой.