10918. Пусть AM
, BN
и CP
— медианы, а AD
, BE
и CF
— биссектрисы треугольника ABC
. Полупериметр треугольника равен p
. Докажите, что
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CP}=p^{2}
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
. Докажем равенства
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}=p(p-a),~\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BN}=p(p-b),~\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CP}=p(p-c),
из которых получим утверждение задачи.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) находим, что \frac{BD}{BC}=\frac{c}{b+c}
. Тогда
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}.
Кроме того,
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.
Поскольку
|\overrightarrow{AB}|=c,~|\overrightarrow{BC}|=a,~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cos(180^{\circ}-\beta)=-ca\cos\beta=
=\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2},
получаем
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}=|\overrightarrow{AB}|^{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{c}{b+c}\right)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\frac{c}{2(b+c)}|\overrightarrow{BC}|^{2}=
=c^{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{c}{b+c}\right)\cdot\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2}+\frac{ca^{2}}{2(b+c)}=
=\frac{4c^{2}(b+c)+(b+3c)(b^{2}-a^{2}-c^{2})+2ca^{2}}{4(b+c)}=
=\frac{4b^{2}c+4c^{3}+(b^{3}-a^{2}b-b^{2}c+3b^{2}c-3a^{2}c-3c^{3})+2a^{2}c}{4(b+c)}=
=\frac{b^{3}+c^{3}+3b^{2}c+3c^{2}b-ac^{2}-a^{2}b}{4(b+c)}=
=\frac{(b+c)^{3}-a^{2}(b+c)}{4(b+c)}=\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{2}=
=\frac{b+c+a}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}=p(p-a).
Аналогично, для \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BN}
и \overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CP}
.
Сложив три этих равенства, получим
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CP}=
=p(p-a)+p(p-b)+p(p-c)=p(3p-a-b-c)=
=p(3p-2p)=p^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 4, задача 1097 (1985, с. 325), с. 135